| Analiza Matematica | |
| Siruri | |
| Se numeste sir de numere reale orice functie x : N-A -> R unde A este o submultime finita a lui N | |
| Multimea V se numeste vecinatate a lui a daca exista m,n reali astfel incat a apartine (m,n) inclus in V | |
| Un numar real x este limita unui sir (xn) daca orice vecinatate a lui x contine toti termenii sirului, exceptand un numar finit de termeni | |
| Sirurile care au limita se numesc siruri convergente. Celelalte sunt numite siruri divergente | |
| Daca un sir contine doua subsiruri covergente cu limite diferite atunci sirul este divergent | |
| Bolzano- Weierstrass | Din orice sir marginit se poate extrage un subsir convergent |
| Weierstrass | Orice sir monoton si marginit este convergent |
| Limite de functii | |
| Punctul a este punct de acumulare pentru A daca si numai daca exista un sir (xn) apartinand lui A, cu proprietatea ca xn - > a | |
| Limita unei functii intr-un punct este unica | |
| Definitia Heine | Se spune ca l este limita functiei f in a daca oricare ar fi sirul xn -> a atunci f(xn) - > l |
| O functie are limita intr-un punct daca limitele laterale sunt egale | |
| Limita unei functii elementare se gaseste prin inlocuirea lui x cu a | |
| Daca pe un interval f(x)<=g(x), functiile au limite in acest interval atunci lim f(x)<=lim g(x) | |
| Functii continue | |
| O functie este continua intr-un punct daca limita functiei in punct este egala cu valoarea functiei | |
| O functie este continua pe un interval daca este continua in orice punct din interval | |
| Toate functiile elementare sunt functii continue | |
| Un punct se numeste discontinuitate de speta I daca limitele laterale ale functiei nu sunt egale cu valoarea functiei | |
| Un punct se numeste discontinuitate de speta II daca functia nu este continua si discontinuitatea nu este de prima speta | |
| Proprietatea Darboux | Pe un interval E functia f are proprietatea lui Darboux daca pentru orice a |
| O functie cu proprietatea Darboux transforma un interval intr-un alt interval | |
| O functie cu proprietatea Darboux nu are puncte de discontinuitate de speta I | |
| Toate functiile elementare sunt functii continue | |
| O functie continua pe un interval [a,b] este marginita si isi atinge marginile | |
| Functii derivabile | |
| O functie are derivata daca exista limita raportului [f(x)-(a)]/[x-a]. Daca limita exista se noteaza cu f'(a) | |
| Orice functie elementara este derivabila | |
| Tabelul cu regulile de derivare a functiilor elementare se gasesc in sectiunea de formule | |
| Teorema lui Fermat | Daca a este punct de maxim pentru o functie si in a f este derivabila atunci f'(a)=0 |
| Teorema lui Rolle | Daca o functie f:[a,b]->R are urmatoarele proprietati: 1) este continua pe [a,b] 2) esre derivabila pe (a,b) 3) f(a)=f(b) atunci exista cel putin un punct c in (a,b) astfel incat f'(c)=0 |
| Sirul lui Rolle | Daca f este derivabila pe E atunci intre doua radacini ale derivatei se gaseste cel mult o radacina a functiei |
| Teorema lui Lagrange | Daca o functie f:[a,b]->R are urmatoarele proprietati: 1) este continua pe [a,b] 2) esre derivabila pe (a,b) atunci exista cel putin un punct c in (a,b) astfel incat f(b)-f(a)=(b-a)f'(c) |
| Daca o functie este monotona pe un interval atunci derivata sa pe acel interval nu isi schiba semnul. Daca f este crescatoare atunci f' pozitiva. Daca f este descrescatoare atunci f' este negativa | |
| Regula lui l'Hospital | Daca f si g derivabile in a, lim f=lim g=infinit sau 0 atunci lim f/g=lim f'/g' |
| Orice functie este concava pe E daca oricare a,b din E si subunitar, pozitiv, are loc relatia f((1-t)a+tb)>=(1-t)f(a)+tf(b) | |
| Orice functie este covexa pe E daca oricare a,b din E si subunitar, pozitiv, are loc relatia f((1-t)a+tb)<=(1-t)f(a)+tf(b) | |
| Orice functie elementara este derivabila | |
| Daca f''(x)>0 pentru orice x din interval atunci f este convexa pe acel interval | |
| Daca f''(x)<0 pentru orice x din interval atunci f este concava pe acel interval | |
| Primitive | |
| O functie f admite primitiva pe E daca exista o functie F astfel incat F'(x)=f(x), pentru orice x din E | |
| Multimea primitivelor pe un interval se numeste integrala nedefinita | |
| Daca f:I -> R este continua pe I atunci f admite primitive | |
| Daca f:I -> R nu are proprietatea lui Darboux nu admite primitive | |
| Daca f,g:I -> R au primitive pe R atunci af+bg are prmitive pe I, pentru orice a si b | |
| Daca f,g:I -> R sunt doua functii care 1) f are primitive pe I si 2) multimea {x | f(x)<>g(x)} este nevida si finita atunci g nu are primitive pe I |
|
| Integrala definita | |
| Se numeste diviziune a intervalului [a,b] un sistem finit de puncte D=(xo,..,xn) | |
| Suma Riemman | f:[a,b]->R, diviziunea D a intervalului [a,b] si un sistem de puncte e=(e1,e2,...,en) astfel incat xi-1 <= ei <= xi. Suma produselor de forma f(ei)(xi-xi-1 se numeste suma Riemman asociata functiei f, diviziunii D si sistemului de puncte intermediare e |
| O functie este integrabila Riemman daca pentru orice alegere a sistemului de puncte intermediare e pentru diviziunea D suma Riemman este convergent la acelasi numar If denumit integrala definita a lui f pe intervalul [a,b] | |
 BluePink XHost |
Gazduire site-uri web nelimitata ca spatiu si trafic lunar la doar 15 eur / an. Inregistrare domenii .ro .com .net .org .info .biz .com.ro .org.ro la preturi preferentiale. Pentru oferta detaliata accesati site-ul BluePink |