| Algebra | |
| Numere reale | |
| Valoarea absoluta (modulul) numerelor reale are proprietatile 1) |a|>=0 oricare a real 2) |ab|=|a||b| oricare a,b reale 3) |a+b|<=|a|+|b| oricare a,b reale |
|
| Axioma completitudinii euclidiene | Oricare ar fi a un numar nenegativ exitsa un numar real x>=0 astfel incat x2=a |
| Oricare ar fi un n numar natural exista un unic numar real pozitiv cu proprietatea xn=a; numarul x>=0 cu aceasta proprietate se numeste radicalul de ordin n al lui a | |
| Teorema impartirii cu rest | Fie n>0 un numar intreg. Oricare ar fi m intreg exista numere intregi q si r unice astfel incat m=nq+r |
| Ecuatii | |
| Doua ecuatii se numesc echivalente daca au pe multile de definitie aceeasi multime de solutii | |
| ax+b=0 a,b reali se numeste ecuatie liniara cu o singura necunoscuta | |
| ax2+bx+c=0 a,b,c reali se numeste ecuatie algebrica de gradul al doilea cu coeficienti reali | |
| Functii | |
| Fie A si B doua multimi nevide. Se spune ca s-a definit o functie definita pe multimea A cu valori in multimea B daca s-a dat o regula, o lege, notata cu f prin care fiecarui element din A i se asociaza un uni element din B | |
| O functie f:A->R este para daca pentru orice x din A f(x)=f(-x) | |
| O functie f:A->R este impara daca pentru orice x din A f(-x)=f-(x) | |
| Fie a si b doua numere reale, a diferit de zero. Functia f:R->R f(x)=ax+b se numeste functie de gradul I | |
| Reprezentarea grafica a functiei de gradul I este o dreapta (vezi graficul la sectiunea grafice) | |
| Fie a,b,c reali cu a diferit de zero. Se numeste functie de gradul al doilea o functie de forma f:R->R f(x)=ax2+bx+c | |
| Graficul functiei de gradul al II-lea este o parabola (vezi parabola la sectiunea grafice) | |
| Fie f:A->B si g:B->C doua functii. Se numeste compusa functiei g cu functia f functia notata fog si definita gof:A->C (gof)(x)=g(f(x)) | |
| Functia f:A->B este inversabila daca exista functia g:B->A cu proprietatea fog=1A si gof=B | |
| Graficul unei functii si graficul functiei inverse sunt simetrice fata de prima bisectoare | |
| O functie f:A->B este injectiva daca pentru orice elemente distincte x1 si x2 din A avem ca f(x1) diferit de f(x2) | |
| Orice functie strict monotona este injectiva | |
| f:A->B se numeste surjectiva daca Imf=B | |
| O functie este bijectiva daca este surjectiva si injectiva. O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva | |
| Detalii privind functiile exponentiala, logaritmica si trigonometrice inverse se gasesc in sectiunea grafice | |
| Polinoame | |
| Expresia f=ao+...+anXn cu ai numere complexe, an nenul se numeste polinom de gradul n iar f:C->C functia polinomiala atasata polinomului | |
| Impartirea cu rest | Daca f si g din C[X] sunt polinoame nenule atunci exista in mod unic polinoamele q,r din C[X] asfel incat f=gq+r si grad r < grad g |
| Restul impartirii polinomului f la X-a este f(a) | |
| Fie f,g din C[X] nenule. Spunem ca polinomul f se divide cu g daca exista un polinom h din C[X] astfel incat f=gh | |
| Bezout | Numarul a este radacina pentru f daca si numai daca f se divide cu X-a |
| Teorema fundamentala a algebrei | Daca f din C[X] este un polinom de grad mai mare sau egal cu 1 atunci f are cel putin o radacina complexa |
| Un polinom f are o radacina a de multiplicitate k daca f se divide cu (X-a)k si nu se divide cu (X-a)k+1 | |
| Daca un polinom din R[X] are o radacina complexa atunci este radacina si conjugata radacinii | |
| Daca un polinom din Q[X] admite radacina o radacina rationala atunci f admite ca radacina si conjugata radacinii | |
| Daca f din Z[X] este nenul si a,b intregi atunci f(a)-f(b) se divide cu a-b | |
| Fie f din Z[X] f=ao+a1X+...+anXn de grad nenul. Atunci 1) daca f admite radacina intreaga xo xo divide ao 2) daca f admite radacina rationala c/d atunci c|ao si d|an |
|
| Matrici | |
| Se numeste matrice cu m linii si n coloane (de tip m x n) un tablou cu m linii si n coloane definit prin elemente complexe aij | |
| Doua matrici A si B sunt egale daca aij=bij pentru orice i=1,m si j=1,n | |
| Adunarea matricilor respecta aceleasi conditii si are aceleasi proprietati ca adunarea numerelor reale | |
| Unei matrici patratice A i se poate asocia un unic numar numit determinant si notat det(A) | |
| Daca A este matrice patratica de ordinul 2 atunci det(A)=a11a22-a12a21 | |
| Se numeste minor asociat elementului aij detrminantul matricii patratice Aijde ordin n-1 obtinut prin suprimarea liniei i si a cloanei j din matricea A. Se noteaza prin Dij | |
| Se numeste complement algebric al elementului aij numarul (-1)i+jdet(Aij) | |
| Determinantul matricii A=(aij) de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complementii lor algebrici adica det(A)=a11D11 - a12D12 + ... + (-1)n+1a1nD1n | |
| Daca toate elementele unei linii sau coloane sunt nule atunci determinantul este nul | |
| Daca un determinant are doua linii sau coloane identice atunci este nul | |
| Daca elementele de pe doua linii sau coloane sunt proportionale atunci determinantul este nul | |
| Intr-un determinant putem face operatii cu elementele de pe doua linii sau coloane dfierite (inmultire cu constante, scadere, adunare) fara a modifica valoarea determinantului | |
| O matrice este nesingulara sau inversabila daca are determinantul diferit de zero. Daca o matrice ste nesingulara atunci exsita matricea A-1 astfel incat AA-1=In | |
 BluePink XHost |
Servere virtuale de la 20 eur / luna. Servere dedicate de la 100 eur / luna - servicii de administrare si monitorizare incluse. Colocare servere si echipamente de la 75 eur / luna. Pentru detalii accesati site-ul BluePink. |